사람 수에 따라 생일이 같은 사람이 적어도 한 쌍 존재할 확률
By Rajkiran g – Own work, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons.
직관을 뒤집는 ‘생일 역설’
한자리에 23명이 모여 있다고 해보자. 이들 가운데 생일이 같은 두 사람이 있을 확률은 얼마나 될까?
1년은 365일이나 되고 사람은 고작 23명이다. 얼핏 생각하면 생일이 겹칠 가능성은 매우 낮을 것 같다. 하지만 실제 확률은 약 50.7%다. 23명만 모여도 그중 적어도 두 사람의 생일이 같을 가능성이 절반을 넘어선다.
이처럼 우리의 직관적인 예상과 실제 확률 사이에 큰 차이가 나타나는 현상을 ‘생일 역설(Birthday Paradox)’이라고 한다.
23명밖에 없는데도 확률이 높은 이유
우리는 이 문제를 접하면 흔히 한 사람을 기준으로 생각한다. ‘나와 생일이 같은 사람이 이 모임에 있을까?’라고 생각하는 식이다.
하지만 생일 역설이 묻는 것은 특정한 한 사람과 생일이 같은 사람이 있는지가 아니다. 23명 가운데 어느 두 사람이라도 생일이 같은지를 묻는다.
23명이 있을 때 두 사람씩 짝지을 수 있는 조합은 모두 253쌍이다. 사람은 23명뿐이지만 생일이 일치할 가능성이 있는 두 사람의 조합은 생각보다 훨씬 많다. 우리가 23과 365라는 숫자만 비교하면 실제 확률을 크게 과소평가하기 쉬운 이유다.
반대 확률을 이용한 계산
‘23명 가운데 적어도 두 사람의 생일이 같다’는 경우를 직접 계산하기는 복잡하다. 그래서 반대로 23명 모두의 생일이 서로 다를 확률부터 구한다.
첫 번째 사람은 비교할 사람이 없으므로 확률은 100%다. 두 번째 사람의 생일이 첫 번째 사람과 다를 확률은 364/365, 세 번째 사람까지 모두 다를 확률을 구하려면 여기에 363/365를 곱한다. 네 번째 사람은 다시 362/365를 곱하는 식이다.
이를 23번째 사람까지 계속하면,
1 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 343/365 ≈ 0.493
이 된다. 즉, 23명 모두의 생일이 서로 다를 확률은 약 49.3%다.
따라서 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률은 그 반대인 1 – 0.493 = 0.507, 즉 약 50.7%가 된다.
생일 역설이 보여주는 인간의 직관
생일 역설에는 실제로 논리적인 모순이 있는 것이 아니다. 계산은 정확하다. 그런데도 ‘역설’이라는 이름이 붙은 것은 그 결과가 우리의 직관과 크게 어긋나기 때문이다.
우리는 ‘365일에 비해 23명은 매우 적다’는 사실에 주목한다. 하지만 사람이 늘어날수록 서로 비교할 수 있는 사람의 조합은 훨씬 빠르게 증가한다는 사실은 직관적으로 잘 느끼지 못한다.
생일 역설은 바로 이러한 차이를 보여준다. 우리는 개별적인 확률은 비교적 쉽게 생각하지만, 여러 사람 사이에서 동시에 만들어지는 수많은 가능성은 실제보다 작게 평가하기 쉽다.
그래서 23명이라는 작은 집단에서도 생일이 같은 두 사람이 나타날 확률이 이미 절반을 넘어서는 것이다.
※ 이 계산은 윤년을 제외해 1년을 365일로 보고, 생일이 각 날짜에 동일한 확률로 분포한다고 가정한 것이다.